Назад
Полезные материалы от управляющих и аналитиков УК «ДОХОДЪ» Читать
Как действовать при падении рынка? Мнение Всеволода Лобова
Готовые инвестиционные решения
Готовые инвестиционные решения
Посмотреть
Research team для доступа ко всем возможностям аналитики
Research team для доступа ко всем возможностям аналитики
Войти
Ваши идеи по улучшению сервиса
Ваши идеи по улучшению сервиса
Поделиться
Назад

Избегайте ситуаций, когда один поворот случая может заставить вас начать все сначала

1239

Алиса и Марк подбрасывают монету. Вероятность выпадения орла и решки одинакова каждый бросок. Алиса делает броски до тех пор, пока не выпадет орел, а за ним сразу решка. Марк – до тех пор, пока не выпадет два орла подряд.

Кто в среднем сделает больше бросков?

Мы спросили наших читателей в Telegram, какой из вариантов ответа на этот вопрос они считают правильным. Вот результаты.

Задача про монеты

Правильный ответ на эту задачку: Марку в среднем понадобиться больше бросков (6), чем Алисе (4).

Этот ответ дали лишь 16% проголосовавших.

Далее мы приведем математическое решение этой задачки. Но даже если вы не дружите с математикой, пожалуйста, не пропустите полезные выводы для ваших инвестиций в конце поста!

Больше таких задачек ищите по ссылкам ниже:

Решение

Мы знаем, что Алиса и Марк бросают монеты, которые выпадают на орле или решке с одинаковой вероятностью (fair coins) – 50%.

Таким образом, в любых двух последовательных бросках комбинация Орел-Решка («ОР») Алисы выпадет с такой же вероятностью, как и Орел-Орел («ОО») Марка.

Поэтому «кажется», что в среднем они оба сделают одинаковое количество бросков.

Но это неверный ответ. В среднем Алисе понадобится всего 4 броска. Марк сделает 6 бросков – ему в среднем понадобится больше времени. Как странно!

Когда дело доходит до вероятности, наша интуиция часто вводит нас в заблуждение. Лучший способ справиться с этим — тщательно записать различные возможные результаты и поработать над математическими расчетами. В этом случае удобным и наглядным инструментом решения могут быть Цепи Маркова.

На картинке ниже можно увидеть цепи Маркова для Алисы (1) и Марка (2).

Цепи Маркова для Алисы и Марка

Цепь Алисы, например, показывает, что в любой момент она может находиться в одном из четырех возможных «состояний» (от S0 до S3). В каждом состоянии Алиса подбрасывает свою монету. В зависимости от результата броска («О» – Орел или «Р» – Решка) она при необходимости переходит в другое состояние.

  • Например, S0 – это состояние «Старт» – Алиса бросает свою монету. Если выпадает «О», она следует по оранжевой стрелке от S0 (с надписью «О»), которая приведет ее к S1.
  • В S1 Алиса увидела «О» и надеется, что следующей выпадет «Р» (поэтому что ей нужна комбинация «ОР»).
  • Если при броске S1 выпадает решка, она переходит в S2 – в свое состояние «победы» (готовности комбинации «ОР»).
  • Но если вместо этого выпадает «О», она следует за оранжевой стрелкой от S1, что удерживает ее на самом событии S1.

Вот и вся цепь Маркова. Много состояний. В каждом состоянии происходит случайное событие (например, подбрасывание монеты). Основываясь на результате этого случайного события, мы следуем соответствующей стрелке, чтобы перейти к следующему состоянию. Попав в следующее состояние, повторяем и смотрим, что происходит.

Теперь разница между Алисой и Марком очевидна. Когда Марк находится на S1 и ему не везет (выпала решка), ему приходится «вернуться к нулю» (в состояние S0) и начать все сначала. У Алисы все иначе. Как только Алиса окажется в S1, ей больше никогда не придется возвращаться в S0.

Вот почему Марку требуется больше времени! Время от времени, в отличие от Алисы, Марку приходится начинать все заново.

Самое приятное в цепях Маркова – то, что они позволяют нам измерять все это количественно. Если мы знаем начальное состояние, мы можем вычислить вероятность пребывания в любом состоянии в любое время по следующей формуле (3):

Вероятность каждого состояния для каждого броска (итерационно)

Эта формула является «итеративной». То есть, если мы знаем вероятность пребывания в каждом состоянии в момент «k» (бросок «k»), формула дает нам вероятность каждого состояния в следующий момент «k+1» (на броске «k+1»).

Формула требует построить переходные матрицы M. Чтобы получить эти матрицы (4 – см. картинку ниже), мы просто берем вероятность каждой «стрелки» цепи Маркова и помещаем ее в соответствующий слот матрицы.

Переходные матрицы для цепей Маркова

Теперь мы можем повторять расчеты, находя вероятности каждого состояния (Pr) на каждом броске k. На картинке (5) можно увидеть расчет вероятностей для первых четырех бросков.

Вероятности каждого состояния для каждого броска

В любой момент, если Алиса или Марк увидели свою комбинацию, они будут в S2 или S3. Видно, что после четырех бросков Алиса уже имеет вероятность Pr(S2) + Pr(S3) = 3/16 + 1/2 = 68.75% закончить броски. Но у Марка этот шанс составляет только 50%.

Формула расчета среднего числа бросков

Получить среднее кол-во бросков также несложно – это просто формула математического ожидания (6) нахождения в состоянии S2.

Делая расчеты в Excel, Python, MATLAB и пр., вы увидите, что эта формула сходится на значении 4 бросков для Алисы и 6 – для Марка.

Поэтому правильный ответ – Марк.

Полезные выводы

Насколько это возможно, нам следует избегать ситуаций, когда один-единственный поворот неудачи/случая может заставить нас начать все сначала.

  • В финансовом планировании эквивалентом этого является отсутствие сбережений (подушки безопасности), медицинского страхования, страхования важного имущества, плохое планирование наследства.
  • В инвестировании – очень большая концентрация портфеля в одном эмитенте (низкая диверсификация), ставка только на выбор времени сделок купли/продажи, использование слишком большого кредитного плеча, непокрытых опционов, фьючерсов без достаточного обеспечения и пр.

Поступая таким образом, мы ставим себя в положение, когда краткосрочная волатильность и случайные события могут нас уничтожить, заставляя нас, по сути, начинать с нуля снова и снова, отдаляя нас от достижения наших финансовых целей.

Спасибо, что дочитали до конца! Ваши лайки очень помогут нам продолжать!

В статье используются материалы из твиттера 10-K Diver.

 

Читайте также:

и еще десятки полезных публикаций в нашем канале Telegram. Вот тут есть полный гид по каналу.

 

  • НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ИНВЕСТИЦИОННОЙ РЕКОМЕНДАЦИЕЙ, В ТОМ ЧИСЛЕ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ

    Управляющая компания "ДОХОДЪ", общество с ограниченной ответственностью (далее Компания) не обещает и не гарантирует доходность вложений. Решения принимаются инвестором самостоятельно. Информация, представленная здесь, не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией, а упоминаемые финансовые инструменты могут не подходить вам по инвестиционным целям, допустимому риску, инвестиционному горизонту и прочим параметрам индивидуального инвестиционного профиля.

    При подготовке представленных материалов была использована информация из источников, которые, по мнению специалистов Компании, заслуживают доверия. При этом данная информация предназначена исключительно для информационных целей и не содержит рекомендаций. Никто ни при каких обстоятельствах не должен рассматривать эту информацию в качестве предложения о заключении договора на рынке ценных бумаг или иного юридически обязывающего действия, как со стороны Компании, так и со стороны ее специалистов.

    Ни Компания, ни ее агенты, ни аффилированные лица не несут никакой ответственности за любые убытки или расходы, связанные прямо или косвенно с использованием этой информации. Данная информация действительна на момент ее публикации, при этом Компания вправе в любой момент внести в информацию любые изменения. Компания, ее агенты, работники и аффилированные лица могут в некоторых случаях участвовать в операциях с ценными бумагами, упомянутыми выше, или вступать в отношения с эмитентами этих ценных бумаг. Результаты инвестирования в прошлом не определяют доходы в будущем, государство не гарантирует доходность инвестиций в ценные бумаги. Компания предупреждает, что операции с ценными бумагами связаны с различными рисками и требуют соответствующих знаний и опыта.

Читайте также

Все статьи

Наши социальные сети

Читайте и смотрите наши материалы там, где вам удобнее