У нас есть 2 актива: «А» и «B». Оба сегодня стоят 100 рублей. «А» растет на 5% каждый год. «B» либо растет на 20%, либо падает на 10% каждый год — с вероятностью 50/50.
Какова вероятность того, что через 10 лет цена «B» будет выше, чем «A»?
Мы спросили наших читателей в Telegram-канале, какой из вариантов ответа на этот вопрос они считают правильным. Результаты – на картинке ниже.
Результаты опроса в телеграм канале УК ДОХОДЪ @dohod
Правильный ответ на эту задачу: 37.7%.
Хотя этот ответ самый популярный, его выбрали только 31% проголосовавших. Далее мы приведем математическое решение этой задачи. Но даже если вы не дружите с математикой, пожалуйста, не пропустите полезные выводы в конце статьи.
Решение
Оба актива сегодня стоят 100 рублей. Актив «A» растет каждый год на 5%. Актив «B» либо растет на 20%, либо падает на 10% с вероятностью 50/50, и эта вероятность независима от года к году.
Можно заметить, что «средняя» доходность в каждый год для обоих активов одинакова и составляет 5% в год (для актива «B» (20-10) / 2 = 5%).
Предположим, что X = числу лет в течение этих 10 лет, в которые цена актива «B» росла на 20%. Тогда 10-X = числу лет в течение этих 10 лет, в которые цена актива «B» снижалась на 10%. Тогда мы можем сказать следующее:
Цена актива «B» через 10 лет в этом случае = 100 руб. * 1.2^X * 0.9^(10-X).
При этом X может быть равен k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 10, то есть сколько раз за 10 лет рост цены составит 20%. Вероятность каждого из этих событий равна:
Здесь (1 / 2^10) – это вероятность появления каждого индивидуального исхода (2^10 = число всех возможных вариантов).
Число комбинаций k за 10 лет = число различных последовательностей появления этих k раз доходностей в 20% за 10 лет) = формула из комбинаторики = n! / (k!*(n-k)!), где n – общее число элементов, то есть в нашем случае n = 10.
Цена актива «B» может превысить цену «A», только если:
Упрощаем:
1.2^X * 0.9^(10-X) > 1.05^10
1.2^X / 0.9^X > 1.05^10 / 0.9^10
(1.2/0.9)^X > (1.05/0.9)^10
X*ln(1.2/0.9) > 10*ln(1.05/0.9)
Тогда:
X > 10*ln(1.05/0.9) / ln(1.2/0.9) =~ 5.36
Это означает, что активу «B» нужно расти на 20% не менее 6 раз из наших 10 лет, и тогда его цена превысит «A».
Тогда нам нужно просто рассчитать вероятность появления высокой доходности 6 и более раз (то есть для k = 6, 7, 8, 9 и 10). Применив формулы из пункта 2 выше, мы получим:
Поэтому верен ответ «>=25%, <40%».
Распределение исходов для обоих активов (зеленые столбцы означают, что актив «B» обгоняет по доходности актив «A»)
Полезные выводы
-
Снижение волатильности (изменчивости доходности) часто крайне важно для наших инвестиций. Как правильно многие писали нам в комментариях к опросу, «всего 37.7% вероятности обогнать жалкую пятипроцентную доходность! Зачем тогда вообще рисковать?». Вывод — используйте диверсификацию.
-
Средняя доходность и реальный результат — это разные вещи. В примере и у актива «A», и у актива «B» средняя доходность в год вроде бы одинаковая (5%), но распределение результатов принципиально разное. Когда инвестор смотрит только на «средний % в год» в презентации условного фонда, он может сильно ошибиться в оценке будущей прибыли.
-
Волатильность снижает «геометрическую» доходность. Актив «B» часто «откатывает» назад. Даже при симметричном шансе на +20% и -10% итоговый рост оказывается меньше, чем кажется из «средней арифметической доходности». Это и есть эффект волатильности: убытки «весят» больше, чем эквивалентные прибыли.
-
Принимайте короткий риск на большом горизонте. Актив «B», с некоторыми допущениями, похож на инвестиции в акции на срок в один год. Вы можете хорошо заработать, но и вероятность потерять деньги большая. Другое дело — если вы инвестируете надолго: на 3, 5 лет и более. Вероятность убытков значительно снижается. Мы подробно рассказывали, как это работает, в статье «Инвестиционный горизонт, риск и доходность».
-
Эмоции могут вести к неправильным решениям. Даже при честном опросе многие люди ошибаются с оценкой вероятности (и здесь тоже — правильный вариант выбрала лишь треть участников). Это значит, что без расчета или опыта мы склонны недооценивать риск и переоценивать «динамичные» активы.
-
Управляющая компания "ДОХОДЪ", общество с ограниченной ответственностью (далее Компания) не обещает и не гарантирует доходность вложений. Решения принимаются инвестором самостоятельно. Информация, представленная здесь, не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией, а упоминаемые финансовые инструменты могут не подходить вам по инвестиционным целям, допустимому риску, инвестиционному горизонту и прочим параметрам индивидуального инвестиционного профиля.
При подготовке представленных материалов была использована информация из источников, которые, по мнению специалистов Компании, заслуживают доверия. При этом данная информация предназначена исключительно для информационных целей и не содержит рекомендаций. Никто ни при каких обстоятельствах не должен рассматривать эту информацию в качестве предложения о заключении договора на рынке ценных бумаг или иного юридически обязывающего действия, как со стороны Компании, так и со стороны ее специалистов.
Ни Компания, ни ее агенты, ни аффилированные лица не несут никакой ответственности за любые убытки или расходы, связанные прямо или косвенно с использованием этой информации. Данная информация действительна на момент ее публикации, при этом Компания вправе в любой момент внести в информацию любые изменения. Компания, ее агенты, работники и аффилированные лица могут в некоторых случаях участвовать в операциях с ценными бумагами, упомянутыми выше, или вступать в отношения с эмитентами этих ценных бумаг. Результаты инвестирования в прошлом не определяют доходы в будущем, государство не гарантирует доходность инвестиций в ценные бумаги. Компания предупреждает, что операции с ценными бумагами связаны с различными рисками и требуют соответствующих знаний и опыта.
Читайте также
